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有哪些值得推荐的逻辑学入门读物?

学逻辑学,推荐你读读「牛津通识」系列里的《简明逻辑学》,作者是从事逻辑学研究的哲学教授格雷厄姆·普利斯特。

这本书不是那种厚厚的,充满逻辑学公式的教材,而是从哲学的角度探讨各种有趣的逻辑学问题,比如,上帝是否存在?时间是否在流逝?如何计算概率?如何做出最优的决策?

这本薄薄的小书像是一幅简易版的逻辑学旅行地图,每个章节都讨论了一个没有标准答案的逻辑哲学问题。整体读下来,你能对逻辑学的方方面面有一个最基本的认识,算是一本极佳的逻辑学扫盲书籍。

接下来,我主要介绍下书里的 3 个重要且有趣的知识点,详细说说它们为什么重要,为什么有趣。

第 1 个知识点叫真值函数。

第 2 个知识点叫模态算子。

第 3 个知识点叫模糊性。

先来了解第一个知识点:真值函数。为此,我们需要先知道什么是命题。简单点说,命题就是有真假之分的语句。比如,「希特勒是法国总统」「Andy Lee 是大众情人」「珠穆朗玛峰是世界最高峰」「鲁迅出生在浙江绍兴 」「你吃过饭了吗?」「请帮我开一下瓶盖」这六句话中,前两句是假的,中间两句是真的,最后两句没有真假之分。

让我们暂停下来,思考一下,为什么这六句话中,前两句是假的,中间两句是真的,最后两句没有真假之分?

从常识的角度看,我们会说,因为前两句话说的不是事实,中间两句话说的是事实。凡是表达了事实的话,就是真的。没有表达事实的话,就是假的。更精确地说,事实就是现实世界的状态。符合事实的语句,就是正确地描述了世界的状态的语句,也就是真语句。不符合事实的语句,就是没有正确描述世界状态的语句。

而「你吃过饭了吗?」是一个疑问句,它表示说话者的疑问,并没有描述某种世界的状态。「请帮我拧开瓶盖」是一个祈使句,它表示说话者对他人的请求或命令,也没有描述世界的状态,所以这两句话没有真假之分。在我们这个现实世界中,珠穆朗玛峰的确是世界最高峰,鲁迅也的确出生在浙江绍兴。但希特勒并不是法国总统,我至少目前还不是大众情人。所以,这几句话要么描述了现实世界的状态,要么勾勒出了某种非现实的状态。它们是有真假之分的。前两句为真,后两句为假。

大家可能觉得,真就是真,假就是假,哪有我说得这么复杂?但实际上,要分析什么是真,什么是假,的确很不容易。我们想想,「孙悟空会七十二变」「红孩儿是铁扇公主的儿子」,这两个句子究竟是真是假?它们描述的是虚构故事中的情况,很难说符合现实世界的事实。但说这两句话都是假的,听起来又不太对。

那么,这种关于虚构故事的句子,是没有真假之分的吗?这是个没有标准答案的问题。不过,为了讨论的方便,我们姑且就把符合现实世界中的事实的句子当作真命题,不符合事实的句子当作假命题。而没有真假之分的句子就不是命题。而「真」与「假」就是真值。虽然一些学者认为,可以设定「真」「假」以及「不确定」这三种真值,不过我们一般只设定「真」与「假」这两种真值。所以,一个命题不是真的,就是假的,不存在第三种可能性。

回到真值函数这个知识点上。我们现在已经知道什么是真值,那函数又是什么呢?函数就像是一个机器,往里面输入一个值,它就会输出一个值。比如说,f(x+1) 这个函数,往里面输入 1,它就会输出 2;往里面输入 67,它就会输出 68。或者,f(x 的爸爸)这个函数,往里面输入曹植,它就会输出曹操;往里面输入孙权,它就会输出孙坚。

逻辑学中的真值函数与数学中的函数很相似,也是输入一些值,输出一些值。在这里,我们需要认识 3 个最常见的真值函数。第一个叫做「否定」,它的运算方式很简单,如果命题 P 是真的,那么命题 P 的否定就是假的。如果命题 P 是假的,那么命题 P 的否定就是真的。也就是说,否定这个真值函数机器,会将输入进去的句子的真值倒转过来。输入真就会输出假,输入假就会输出真。

比如,「北京是中国的首都」,这个命题事实上是真的。那么输入否定这个真值函数机器后,这个命题就变成了「北京不是中国的首都」,那它就是假的。而「上海是俄罗斯的首都」这个命题事实上是假的,在输入否定这个真值函数机器后,变成了「上海不是俄罗斯的首都」,也就变成了真的。

第二个真值函数叫「合取」, 「合并」的「合」, 「录取」的「取」。「合取」这个真值函数机器,要求往里面输入的语句都是真的,它才会输出真这个真值。如果往里面输入的语句,哪怕只有 1 个是假的,那它就会输出假这个真值。

比如,「Andy Lee 是男性」「Andy Lee 学过心理学」「Andy Lee 学过逻辑学」这三个命题都是真的,把它们都输入合取机器,就变成了「Andy Lee 是学过逻辑学和心理学的男性」,这个命题也是真的。而「Andy Lee 是女孩子」「Andy Lee 学过心理学」「Andy Lee 学过逻辑学」这三个命题,至少有 1 个不是真的。它们合取起来,变成了「Andy Lee 是学过心理学和逻辑学的女孩子」,这个命题虽然部分是真的,但整体看来是假的。

第三个真值函数叫「析取」, 「分析」的「析」。往析取这个真值函数机器中输入的语句,只要有 1 个是真的,整体就是真的。全部是假的,整体才是假的。析取这个专业的说法,也可以读作「或者」。所以下面我们将它读作「或者」。

举几个例子。Andy Lee 是摇滚歌手,Andy Lee 是萌妹子,Andy Lee 是编程专家。这三句话都是假的,那么析取起来,变成「Andy Lee 是摇滚歌手或编程专家或萌妹子」,整体也是假的。但如果换成,「Andy Lee 是摇滚歌手或编程专家或男性」,由于「Andy Lee 是男性」这个命题是真的,那么整个复合命题,虽然大部分是假的,但整体是真的。

关于真值函数这个知识点,我们就先说到这。接下来,让我们来看第二个知识点,也就是模态算子。

在现实生活中,如果我们说「Andy Lee 是萌妹子,Andy Lee 是编程专家」,那这两句话都是不符合事实的,也就是假的。但如果我们说,「Andy Lee 可能是萌妹子,Andy Lee 可能是编程专家」,那这两句话就不一定是假的了。

同样的,我们说「Andy Lee 是男性,Andy Lee 学过心理学」这两句话是真的,但如果加上必然二字,变成「Andy Lee 必然是男性,Andy Lee 必然学过心理学」,那这两句话又不一定是真的了。

「必然」和「可能」这两个词,就是模态算子。这两个模态算子可以互相转化。如果 1+1 必然等于 2,那么 1+1 就不可能不等于 2。也就是说,「必然」就相当于「不可能不」。而说「小张可能是大美女」,也就是说「小张并非必然不是大美女」。 「可能」相当于「不必然不」。说起来比较拗口,但用逻辑符号写下来的话,会很直观。

从命题实际上的真值,我们无法推导出命题加上模态算子后的真值。比如,我实际上是男性,但我并不必然是男性,毕竟我有可能去做变性手术。这说明,实际上真,不代表必然真。但是,1+1 实际上等于 2,而且 1+1 也必然等于 2。在这里,这个数学公式实际上真,而且它也必然真。

要想完全理解模态算子,我们需要用到「可能世界」这个概念。「可能世界」和科幻电影中的平行宇宙有点相似,又和物理学里的多重宇宙很像。总之,我们可以设想一个可能存在的世界,这个世界与我们这个现实世界非常相似,但又不一定完全一样。在那个可能世界里,也有太阳系和地球,地球上刚好也演化出了生物,也形成了人类文明。这个人类文明的历史发展和我们现实世界几乎一模一样,其中也存在一个和我非常相似的人,也叫 Andy Lee。

在这种情况下,如果那个 Andy Lee 是萌妹子,那我们就说「Andy Lee 可能是萌妹子」;如果那个 Andy Lee 是编程高手,那我们就说「Andy Lee 可能是编程高手」。也就是说,「可能」这个模态算子的意思就是说,至少在一个可能世界中,语句符合那个可能世界的事实。

而「必然」这个模态算子就是说,在所有可以设想的可能世界中,语句都符合事实。比如 1+1=2。在所有可以设想的可能世界中,1+1 都等于 2。

换句话说,一个命题必然为真,就是说,它在所有可以设想的可能世界中都是真的。而一个命题必然为假,那它在所有可能世界中都是假的。一个命题可能是真的,就是它在至少 1 个可能世界中是真的。一个命题可能是假的,就是它在至少 1 个可能世界中是假的。

在深入了解可能世界这个概念之后,我们会发现这个概念特别好用。它可以解释什么是可能性,什么是必然性。虽然我们这里没说,但一些哲学家还用它来解释因果关系。那问题来了,这个可能世界究竟是什么东西呢?它是我们人类想象力的产物,还是真实存在的另一个宇宙呢?

哲学家大卫·刘易斯认为,可能世界和我们这个现实世界一样,都是真实存在的世界。或者说,我们这个现实世界对于我们来说很现实,但对于另外的可能世界的居民来说,只是可能世界而已。而那些可能世界对于生活在其中的居民来说,则是现实世界。比如,在另一个可能世界里,我是一个萌妹子。那个世界对于那个身为女性的我来说,非常真实。此时此刻,那个女性的我甚至有可能在设想,会不会在另一个可能世界里,Andy Lee 是男性?

当然,也有一些哲学家认为,可能世界只是我们人类设想出来的理论模型,并不真实存在。我个人也是如此,并不认为可能世界是真实存在的世界。但这不妨碍我们认识到可能世界的重要性。要知道,为了理解现实世界,我们必须设想可能世界的状态。比如,在历史学研究中,我们经常设想,如果历史上发生了某某事件,或者没有发生某某事件,那历史会怎么改变?东风不与周郎便,铜雀春深锁二乔。如果曹操赢了赤壁之战,三国后续的历史会怎么展开?此时,我们就是在利用可能世界这个模型,设想在另一个可能世界中,曹操的确赢了赤壁之战,那他会不会将二乔收入掌中呢?

关于模态算子,我们也说到这里。接下来让我们来看第三个知识点,模糊性。

让我先来讲个故事。有一艘木船,我们将它命名为熊猫号。它每次出航回归之后,我们就用一个新零件来替换它的旧零件。就这样过了几年的时间,这艘熊猫号身上所有的零件都被替换了。那么问题来了,这艘熊猫号还是熊猫号吗?

如果问船上的水手,那么大家可能还认为它是熊猫号。这些水手和熊猫号朝夕相处,虽然它整体上换了所有的零件,从物理属性上看,已经和原来不是同一个东西了。但水手们一般察觉不到这种变化。就像人类一样,随着时间的流逝,我们不断新陈代谢,身上每一个分子都不一样了,但我们还是认为自己是同一个人,毕竟每天的变化都很少。

不过,如果我们将从熊猫号上拆下来的零件,又重新组装成一艘船,这艘船和刚刚出厂的熊猫号一模一样。那问题来了,两艘看起来几乎一样的船,究竟谁才是熊猫号呢?是伴随着水手不断出航的船?还是用零件重新组装起来的船?

关于这个问题,我也没有标准答案提供给大家。感兴趣的朋友可以再去搜索相关资料。接下来我们要思考隐藏在这个问题背后的模糊性。也就是说,我们日常生活中所说的话,大多是模糊的,不是非常精确的。比如,如果一个人身无分文,那我们说这个人是个穷人。但如果给这个人一元钱,我们还是会说他是个穷人。再给他一元钱,他还是穷人。如果把这个过程持续下去,直到给了他 100 万个 1 元钱,那此时他已经有 100 万元财产了,还是穷人吗?

穷人这个说法是模糊的,富人这个说法也是模糊的。甚至,「秃头」这个说法也是模糊的。一个秃头长出一根头发,他还是秃头。再长出一根头发,他还是秃头。如果仔细想想,你会发现,像「蓝色」「美女」「专家」「孩子」等说法,都是模糊的。我们知道,蓝色颜料里头混入黄色颜料后,会变成绿色颜料。那么,一大团蓝色颜料里混入一滴黄色颜料,似乎并不会让整个颜料团变绿多少。那么,继续加入第二滴,第三滴呢?加入第几滴时,颜料才会变成绿色呢?一个三岁小孩肯定是孩子。过了一天,这个三岁小孩还是孩子。再过一天,这个三岁小孩依然是孩子。那么,究竟要过多少天,这个小孩才会变成大人呢?

这种涉及模糊性的问题,的确让我们很难回答。但在现实生活中,我们有时又不得不回答。比如说,考试时,规定 60 分以下就是不及格的水平,需要重新考。但仔细想想,我们又会觉得 60 分和 59 分差不多,为什么前者不用重考,后者需要重考呢?再比如说,中国人民共和国刑法的第 236 条规定,「奸淫不满十四周岁的幼女的,以强奸论,从重处罚」。但是,满不满十四周岁,其实也就相差一天,甚至可能就是相差夜里 12 点那一秒钟而已。但不满十四周岁要以强奸罪论处,而有时候仅仅一天后满了十四岁,就可能不算强奸罪了。这听起来不可思议,但实际规定又的确是这样的。

也就是说,虽然很多说法都是模糊的,但我们在特定的情况下,又必须划分出精确的标准。本书中有个例子,说的是「新自行车」。如果我们去自行车店里买新自行车,会期待这个自行车是从来没用过的。但如果是参加自行车比赛推荐用新自行车,那我们会认为,9 成新的车也算是新自行车,它的磨损并不严重,和崭新的自行车一样,都能赛出好成绩。

总之,在不同的情况下,我们对精确性的追求不一样。有些时候要求特别精确,一点模糊性都不能有。而有些时候,把话说得特别精确,又会显得没意思。比如,小明对小美说:「我对你的爱,就像月亮一样,永不改变」。但是,仔细想想,月球大概在 45 亿年前才形成,往后一直在慢慢变化。月球上有无数环形山,它们是被陨石撞出来的大坑。说不定很久以后,月球就会变得和今天差别很大了。但是,虽然精确地说,月亮并非永不改变,但是在说浪漫情话的情况下,我们就不要在意这些细节了。

以上就是我今天与大家分享的三个知识点,最后再来回顾一下吧。

第一个知识点叫真值函数。真值说的就是真与假这两个值。一个命题的真值为真,就是说这个命题符合事实。一个命题的真值为假,那它就不符合事实。而函数就像是机器,输入一些值后,就会输出一些值。我们了解了 3 个真值函数。第一个叫「否定」,也就是把输入的值变成相反的值。输入真就输出假,输入假就输出真。第二个叫「合取」,要求输入的命题全都为真,输出才为真。哪怕只输入了一个假命题,整体上也会输出假命题。第三个叫「析取」。这个函数只要输入至少 1 个真命题,整体上就会输出真命题;要全都输入假命题,整体上才会输出假命题。

第二个知识点叫模态算子。模态算子一共只有两个,一个叫「必然」,另一个叫「可能」。两者可以互相转化,必然为真,也就是不可能不为真。为了理解模态算子,我们又了解了可能世界。可能世界是我们设想出来的世界。如果在所有的可能世界中,我都是萌妹子,那我就必然是萌妹子。如果在某一个可能世界中,我是萌妹子,那我就可能是萌妹子。也就是说,必然要求所有可能世界都怎么样,而可能只要求至少有 1 个可能世界的情况是怎么样的。

第三个知识点叫模糊性。日常生活中的大部分说法都是模糊的,也就是说,微小的变化并不会导致这种说法不成立。一个小孩长大一天后,还是小孩。一个穷人多了一元钱后,还是穷人。但是,在某些情况下,我们又必须追求精确性,排除模糊性。此时就需要武断地划分出一些边界线。比如,大于等于 60 分就是合格,小于 60 分就是不合格。虽然 60 分和 59 分看起来没有太大的差别。

我对本书的推荐,就到这里了,希望对你有帮助。如果你对本书有兴趣,不妨仔细读一读原书,看一看书上的图表和公式的推导过程,也了解一下我们说的那些逻辑符号都长什么样。如果你对逻辑学有了更大的兴趣,还可以找一本专业的逻辑学教材来读。备案号:YX11v19bNNr


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